圆的反演变换及动态图演示

圆的反演变换及动态图演示

圆的反演变换在处理一些几何问题时，会使问题变得简洁明了。但是，圆的反演变换到底是怎么实现的，这个问题你们想过吗？学数学，不仅要知道各种数学工具，更要知道它们背后的数学原理。

本文，我们就讲一下圆的反演变换的原理，并用动态图进行演示。

首先约定，反演圆的圆心O是反演中心。规定反演半径就是反演圆的半径r（在解题和具体的应用上，可以用不同的反演半径，不必非得是反演圆的半径）。

再约定，如果A经过反演之后变成A'，那么，O、A、A'共线，且OA·OA'=r^2。

具体的作图过程，见下面的动态图。注意，要把反演点视为圆和直线的交点，而不是圆和线段的交点，因为反演点有可能跑到线段的延长线上，此时几何画板有可能忽略这些点。

不同的图形会有不同的反演成像。同一个图形，如果到反演中心的距离不同，也会有不同的反演成像。下面，就用几何画板演示一个几何图形的反演成像。

在几何图形上取任意点P，作出它的反演点P'，选中P、P'，构造轨迹，这时候看到P'的轨迹就是反演成像。这时候，用鼠标改变原图与O的距离，看看成像会有什么变化。

圆在不同情形下的反演成像。

当圆不经过反演中心，它的反演图形仍旧是个圆：

当圆与反演圆相交，交点是保持不变的；

当圆在反演圆的外面的时候，反演成像位于圆的内部；反过来，当圆位于反演圆的内部，反演成像位于圆的外部。

当圆经过反演中心，它的反演图形是一条直线。

作点的反演变换，是一个繁琐的过程，尤其是要作多个图形的反演变换，只能一步一步地作出各个图形的反演图形。怎么快速作多个图形的反演变换呢？只能用自定义工具了。我们先把“点的反演变换”作成一个工具，可以快速地作出曲线上自由点的反演点，然后构造轨迹，就画出了曲线的反演图形。

具体的步骤如下：

打开几何画板，新建文件，在画布上绘制四个点A、B、C、D；

连结线段AB，以C为圆心、AB为半径作圆（这就是反演圆，AB为反演半径）；

作出D的反演点D'（具体步骤见上面第一步），把不相关的东西隐藏起来；

选中整个图形，鼠标长按左侧的“自定义工具”，点击“创建新工具”，在弹出的“新建工具”对话框里，输入工具名称——“点的反演变换”，点击“确定”，再用快捷键“Ctrl”+“S”，保存文件名为“点的反演变换”。

此时，如果关闭这个文件，刚才的自定义工具“点的反演变换”就不在几何画板里面了。不要担心，因为只要打开“点的反演变换”这个文件，相应的自定义工具“点的反演变换”也同时会进入几何画板。

具体用法见下图。

用反演变换的方法来构造Steiner圆链。

这里用一个简单的情形来演示一下（正六边形最容易作图，哈哈）：

先作一个圆及其内接正六边形，连结圆心和正六边形的顶点，把正六边形分成六个小三角形；

作出这六个小三角形的内切圆，可以知道这六个小圆是依次相切的；

隐藏各直线型和大圆，但保留大圆圆心；

作大圆的两个同心圆，分别与六个小圆相外切、相内切；

对这整个图形作反演变换，反演变换的结果是，同心圆变成偏心圆。