Simone高中数学二次项定理应用习题举例详解C16
的有关信息介绍如下：
本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。
※.求二项展开式(4x+4)⁵中偶数项的系数和。
解：根据题意，设：
(4x+4)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,
偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，
分别令x=1和x=-1，有：
(4+4)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,
(4-4)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,
两式子相加有：
2(a₁+a₃+a₅)=(4+4)⁵+(4-4)⁵,即：
2(a₁+a₃+a₅)=32768+0,
2(a₁+a₃+a₅)=32768,所以：a₁+a₃+a₅=16384。
※.在(2-3x)^5*(34+41x)展开式中，x^2的系数是多少？
解：对(2-3x)^5来说，展开通项有：
Tᵣ=C(5,r)* 2^(5-r)*(-3x)^r
=C(5,r)* 2^(5-r)*(-3)^r* x^r
题意要求x^2的系数，考虑到34+41x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：
T=T₁+T₂
=34*C(5,2)*2^(5-2)*(-3)^2+41*C(5,1)*2^(5-1)*(-3)^1
=34*720-41*240=24480-9840=14640.
※.已知[a/18x-√(x/2)]^9的展开式中x^3的系数为3/2，求常数a的值。
解：展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/18x)^(9-r)*[-√(x/2)]^r,
=C(9,r)*a^(9-r)*(18x)^(r-9)*(-1)^r*(x/2)^(r/2),
=C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*18^(r-9)*(1/2)^(r/2)*x^(3r/2-9),
=C(9,r)*(-1)^r*(a/18)^(9-r)* (1/2)^(r/2) *x^(3r/2-9),
※.若(2x^4+2/x^1)^n的展开式各系数的和为1024，则n和展开式的常数项分别是多少？
解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：
(2+2)^n=1024,
即可求出n=5.
本题展开式通式为：
Tᵣ=C(5,r)*(2x^4)^(5-r)*(2/x^1)^r
=C(5,r)*2^(5-r)*x^(4*5-4r)*2^r *x^(-r)
=C(5,r)*2^(5-r)*2^r*x^(4*5-4r-r)
因为求常数，所以：4*5-4r-r=0，
即r=4，则此时的系数为：
Tᵣ=C(5,r)*2^(5-r)*2^r
=C(5, 4)*2^(5-4)*2^r=5*2*16=160.
