问题的拓展接下来笔者在正方形中研究该性质时发现,ai,bi的指数可以继续增大,可得如下结论.拓展 两块全等的正方形互相重合,使重合部分为八边形,记这个八边形的边长顺次为a1,b1;a2,b2;a3;b3;a4,b4.则(其中t=1,2,3;i=1,2,3,4).

问题的拓展接下来笔者在正方形中研究该性质时发现,ai,bi的指数可以继续增大,可得如下结论.拓展 两块全等的正方形互相重合,使重合部分为八边形,记这个八边形的边长顺次为a1,b1;a2,b2;a3;b3;a4,b4.则(其中t=1,2,3;i=1,2,3,4).

证明 当t=1,2时,拓展命题显然是推广中n=4的特殊情形,故只须证明当t=3时结论成立.

如图3所示,记这两块正方形分别为A1A2A3A4和B1B2B3B4,并设BiBi+1与AiAi+1交于点Pi+1,BiBi+1与Ai+1Ai+2交于点Qi+1,PiQi=ai,QiPi+1=bi,△AiPiQi的周长为ui,△BiQiPi+1的周长为vi(i=1,2,3,4),正方形的边长为a.连结P1P3与Q1Q3交于点O,作OM⊥A1A4于点M,ON⊥A2A3于点N.

易证明△AiPiQi∽△BiQiPi+1,由相似三角形的性质可知显然P3到直线A1A4和B1B4的距离相等,因此P1P3平分∠Q1P1Q4.同理可证P1P3平分∠Q3P3Q2,Q1Q3平分∠P1Q1P2和∠P3Q3P4,于是点O是△A1P1Q1和△A3P3Q3公共的旁心.从而∠OA1M=∠OA3N,因而

u1=2A1M=2OM,u3=2A3N=2ON,

故u1+u3=2a,即

同理可得

a1+a3=a2+a4=b1+b3=b2+b4==d,

(1)

再结合可知

(a1+a3)2-2a1a3+(a2+a4)2-2a2a4

=(b1+b3)2-2b1b3+(b2+b4)2-2b2b4.

由式(1),得

a1a3+a2a4=b1b3+b2b4.

(2)

而

同理可得

因此

由式(2),可得